Analisis Ragam / Analysis of variance (Anova) dua arah tanpa interaksi

Anova dibagi kedalam tiga jenis yaitu Anova satu arah, anova dua arah tanpa interaksi dan anova dua arah dengan interaksi. Sebelumnya sudah dibahas mengenai anova satu arah, Kali akan dibahas tentang anova dua arah tanpa interaksi. Sama seperti sebelumnya kali ini juga akan dibahas lengkap beserta pekerjaann secara manual jadi jangan bosan yaa.hehhehe

Kapan menggunakan Analisis ragam (Anova) dua arah tanpa interaksi?

Anova digunakan untuk melihat perbandingan rata-rata beberapa kelompok biasanya lebih dari dua kelompok. Anova dua arah tanpa interaksi digunakan pada kelompok yang digunakan berasal dari sampel yang sama tiap kelompok. sama disini diartikan berasal dari kategori yang sama. Jadi, bisa disimpulkan Pertama yang perlu dilihat tujuannya membandingkan rata-rata kelompok lebih dari dua. Kedua Sampel yang digunakan merupakan sampel yang sudah dikategorikan per kelompok sama. Untuk jelasnya nanti kita kasih contoh.

Asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam analisis varians (anova):

1. Data berdistribusi normal, karena pengujiannya menggunakan uji F-Snedecor
2. Varians atau ragamnya homogen, dikenal sebagai homoskedastisitas, karena hanya digunakan satu penduga (estimate) untuk varians dalam contoh
3. Masing-masing contoh saling bebas, yang harus dapat diatur dengan perancangan percobaan yang tepat
4. Komponen-komponen dalam modelnya bersifat aditif (saling menjumlah).

Hipotesis dalam Anova (analysis of variance):

Dalam analysis of variance dua arah tanpa interaksi terdapat dua hipotesis yang digunakan yaitu apakah ada perbedaan rata-rata antar kategori baik kategori berdasarkan baris maupun kolom. kita cuma pengen tahu itu, tidak spesifik yang mana yang berbeda. Nah kalau mau tahu kelompok yang benar-benar terdapat perbedaan rata-rata ada uji lanjutan dilakukan uji lanjutan. kalau tentang itu akan dibahas di lain tempat. Berikut hipotesis dalam Anova dua arah tanpa interaksi.

• Hipotesis anova kolom
  H0: μ*1 = μ*2 = μ*3 = ... = μ*k, Tidak ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori kolom
  H1: μ*1 ≠ μ*2 ≠ μ*3 ≠ ... ≠ μ*k, Ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori kolom
• Hipotesis anova baris
  H0: μ1* = μ2* = μ3* = ... = μj*, Tidak ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori baris
  H1: μ1* ≠ μ2* ≠ μ3* ≠ ... ≠ μj*, Ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori baris

Langkah-langkah melakukan uji hipotesis dengan ANOVA

1. Kumpulkan sampel dan kelompokkan berdasarkan kategori tertentu.

   Untuk memudahkan pengelompokkan dan perhitungan, buat tabel data sesuai dengan kategori berisi sampel dan kuadrat dari sampel tersebut. Hitung pula total dari sampel dan kuadrat sampel tiap kelompok. Selain itu, tentukan pula hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (H1).

2. Menentukan tipe anova

   Untuk menentukan tipe anova. terlebih dahulu bertanya apakah dari hipotesis tersebut cocok untuk anova? jika tujuannya membandingkan rata-rata tiga kelompok atau lebih maka boleh pakai Anova. Pertanyaan kedua apakah sampel tiap kelompok diambil dari sampel yang sudah dikategorikan? jika berasal dari sampel yang sudah dikategorikan maka menggunakan Anova dua arah/two way. Pertanyaan ketiga apakah dalam sampel yang dikategorikan tadi terjadi pengulangan atau tidak? jika tidak terjadi pengulangan maka menggunakan anova dua arah tanpa interaksi.

3. Memeriksa apakah sudah memenuhi asumsi-asumsi sehingga bisa digunakan anova

   • Normalitas,

     adalah Menguji apakah data tiap kelompok memiliki distribusi normal. hal ini bisa dilakukan dengan uji kolmogorov smirnov, shapira wilk.

   • Homogenitas

     adalah Menguji apakah varians tiap kelompok sama. Dalam menghitung homogenitas bisa digunakan uji bartlett dan uji levene.

   • Saling bebas

     Menunjukkan bahwa setiap kelompok tidak saling berhubungan. Biasanya yang digunakan logika apakah saling bebas atau tidak.

   • Aditif (Saling menjumlahkan).

     Artinya data yang dianalisis merupakan data interval/rasio

4. Menghitung variabilitas dari seluruh sampel.

   Pengukuran total variabilitas atas data dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian, berikut rumus dalam Anova:

   • Total of sum squares (SSt) – jumlah kuadrat total (jkt).

     Merupakan jumlah kuadrat selisih antara skor individual dengan rata-rata totalnya.
     
     Keterangan:
     k = banyaknya kolom
     r = Banyaknya baris
     xij = data pada kolom ke-i ulangan ke-j
     T** = Total (jumlah) seluruh pengamatan
     

   • Sum Square Between column – jumlah kuadrat kolom (jkk).

     Variansi rata-rata kelompok sampel terhadap rata-rata keseluruhannya. Variansi di sini lebih terpengaruh karena adanya perbedaan perlakuan antar kelompok.
     
     Keterangan
     T*j = Total (jumlah) ulangan pada kolom ke-j

   • Sum Square Between row – jumlah kuadrat baris (jkb).

     Variansi rata-rata kelompok sampel terhadap rata-rata keseluruhannya. Variansi di sini lebih terpengaruh karena adanya perbedaan perlakuan antar kelompok.
     
     Keterangan
     Ti* = Total (jumlah) ulangan pada baris ke-i

   • Sum Square within(SSw) – jumlah kuadrat galat (jkg).

     Variansi yang ada dalam masing-masing kelompok. Banyaknya variansi akan tergantung pada banyaknya kelompok, dan variansi di sini tidak terpengaruh / tergantung oleh perbedaan perlakuan antar kelompok.
     
     JKG = JKT - JKK-JKB

5. Menghitung derajat kebebasan (degree of freedom).

   Derajat kebebasan atau degree of freedom (dilambangkan dengan v, dof, atau db) dalam ANOVA akan sebanyak variabilitas. Oleh karena itu, ada tiga macam derajat kebebasan yang akan kita hitung:
   

   • Derajat kebebasan untuk JKT

     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat total (JKT) ini akan kita lambangkan dengan dof JKT.
     db JKT = rk - 1

   • Derajat kebebasan untuk JKK

     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat kolom (JKK) ini akan kita lambangkan dengan dof JKK.
     db JKK = k-1

   • Derajat kebebasan untuk JKB

     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat baris (JKB) ini akan kita lambangkan dengan dof JKB.
     db JKB = r-1

   • Derajat kebebasan untuk JKG

     Merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat galat (JKG) ini akan kita lambangkan dengan dof JKG
     
     db JKG =(r - 1)(k - 1)

6. Menghitung variance antar kelompok dan variance dalam kelompok.

   Variance dalam ANOVA, baik untuk antar kelompok maupun dalam kelompok sering disebut dengan kuadrat tengah atau deviasi rata-rata kuadrat (mean squared deviation) dan dilambangkan dengan MS atau KT. Dengan demikian, maka mean squared deviation masing-masing dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:
   
   • KTK = JKK / db JKK
   • KTB = JKB / db JKB
   • KTG = JKG / db JKG

7. Menghitung F hitung

   Menghitung nilai distribusi F (Fhitung) berdasarkan perbandingan variance antar kelompok dan variance dalam kelompok.Fhitung didapatkan dengan rumus di bawah ini:
   
   
   • Fhitung (kolom) = KTK/KTG
   • Fhitung (baris) = KTB/KTG

8. Menghitung F tabel

   
   Selain itu, F berdasarkan tabel (Ftabel) juga dihitung, berdasarkan nilai derajat kebebasan (langkah ke-4) menggunakan tabel distribusi-F. Jangan lupa untuk mencantumkan gambar posisi Fhitung dan Ftabel dalam grafik distribusi-F.

9. Membandingkan Fhitung dengan Ftabel :

   • Jika Fhitung > Ftabel : tolak H0
   • Jika Fhitung ≤ Ftabel : terima H0

10. Buat kesimpulan,

    sesuai dengan kasus awal yang ditanyakan. Simpulkan, apakah perlakuan (treatment) memiliki efek yang signifikan pada sampel data atau tidak. Jika hasil tidak signifikan, berarti seluruh rata-rata sampel adalah sama. Jika perlakuan menghasilkan efek yang signifikan, setidaknya satu dari rata-rata sampel berbeda dari rata-rata sampel yang lain.

Contoh penghitungan Analysis of variance (Anova) dengan tabel.

Berdasarkan langkah-langkah diatas untuk mempermudah perhitungan dibuat tabel seperti berikut:

Sumber Keragaman (SK)	Jumlah Kuadrat (JK)	Derajat Bebas (db)	Kuadrat Tengah (KT)	F hitung
Kolom (K)		db JKK = k-1	KTK = JKK / db JKK	F hitung = KTK / KTG
Baris (B)		db JKK = r-1	KTK = JKB / db JKB	F hitung = KTB / KTG
Galat (G)	JKG = JKT - JKK- JKB	db JKG=(k-1)(r-1)	KTG = JKG / db JKG
Total (T)		db JKT= rk-1

Contoh Kasus Anova dua arah tanpa interaksi:

Terdapat 4 metode diet dan 3 golongan usia peserta program diet Berikut data rata-rata penurunan berat peserta keempat metode dalam tiga kelompok umur.

Umur	Penurunan Berat Badan (Kg)				Total Baris
	Metode 1	Metode 2	Metode 3	Metode 4
< 20 tahun	5	6	2	3	T1* = 16
20-40	2	7	5	3	T2* = 17
> 40 tahun	7	3	4	3	T3* = 17
Total Kolom	T*1 = 14	T*2 = 16	T*3 = 11	T*4 = 9	Total T** = 50

Berdasarkan gambat tersebut terlihat bahwa setiap metode memiliki perlakuan yang sama sehingga bisa dikatakan ada hubungan dua arah. tapi tidak ada interaksi.

Solusi kasus Anova dua arah tanpa interaksi

1. Merumuskan Hipotesis

• Hipotesis anova kolom
  H0: μ*1 = μ*2 = μ*3, Tidak ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori Metode
  H1: μ*1 ≠ μ*2 ≠ μ*3, Ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori Metode
• Hipotesis anova baris
  H0: μ1* = μ2* = μ3*, Tidak ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori kelompok umur
  H1: μ1* ≠ μ2* ≠ μ3*, Ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari kategori Kelompok umur

2. Identifikasi model.

   Pertama. berdasarkan hipotesis yang digunakan yaitu membandingkan rata-rata lebih dari dua kelompok maka metode yang mungkin adalah Anova. kedua Sampel yang digunakan tiap kelompok sudah dikategorikan sehingga tipe anova yang cocok adalah Anova dua arah. kemudian dari tiap kategori tersebut tidak ada pengulangan sehingga kita menggunakan anova dua arah tanpa interaksi.

3. Memeriksa asumsi Anova.

   Dalam metode anova yang perlu diperhatikan ada empat seperti pada keterangan diatas. asumsi normal dan homogenitas antar varians kelompok harus terpenuhi. dalam contoh ini kita asumsikan asumsi terpenuhi karena kita fokus pada langkah-langkah anova dua arah tanpa interaksi. kemudian kelompok yang dianalisis berasal dari kelompok saling bebas. dan data yang digunakan merupakan data rasio. Setelah asumsi ini terpenuhi maka bisa lanjut ke perhitungan selanjutnya. kalau tidak ganti metode.

4. Menghitung F hitung melalui Variabilitas, Derajat bebas dan Kuadrat tengah

   • Jumlah Kuadrat Total (JKT)
     JKT = (5²+2²+7²+6²+7²+3²+2²+5²+4²+3²+3²+3²)-(50²/12)=244-208.33=35.67
   • Jumlah Kuadrat Baris (JKB)
     JKB=(16²+17²+17²)/4-(50²/12) =834/4 - 2500/12 =0.17
   • Jumlah Kuadrat Kolom (JKK)
     JKK=(14²+16²+11²+9²)/3-(50²/12) =654/3 - 2500/12 =9.67
   • Jumlah Kuadrat Galat (JKG)
     JKG = JKT - JKK - JKB = 35.67-0.17-9.67 =25.83
   • Kuadrat Tengah Baris (KTB)
     KTB = JKB / r-1 = 0.17/2 = 0.085
   • Kuadrat Tengah Kolom (KTK)
     KTK = JKK / k-1 = 9.67/3 = 3.223
   • Kuadrat Tengah Galat (KTG)
     KTG = JKG / (r-1)(k-1) = 25.83/6 =4.305
   • f hitung baris
     f hitung =KTB / KTG = 0.085/4.305 =0.01974
   • f hitung kolom
     f hitung =KTK / KTG = 3.223/4.305 = 0.7456

5. Perhitungan Tabel anova

   Agar mempermudah perhitungan kita menggunakan tabel berikut:
   

   Sumber Keragaman (SK)	Jumlah Kuadrat (JK)	Derajat Bebas (db)	Kuadrat Tengah (KT)	F hitung
   Kolom (K)	JKK = 9.67	db JKK = 4-1 = 3	KTK =3.223	F hitung = 0.01974
   Baris (B)	JKB = 0.17	db JKB = 3-1 =2	KTB =0.085	F hitung = 0.7456
   Galat (G)	JKG = 25.83	db JKG= 3.2=6	KTG =4.305
   Total (T)	JKT =35.67	db JKT=12 -1 =11

6. Menghitung F _tabel

   • F table Kolom pada α = 0.01 db1=3 dan dk2=6 adalah 9.78
   • F table Baris pada α = 0.01 db1=2 dan dk2=6 adalah 10.92

7. Kesimpulan :

   Baik untuk kolom dan baris terima H0 Karena F _hitung ada di daerah penerimaan (F _hitung < F _tabel), sehingga dapat disimpulkan setiap metode dan kelompok umur memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama.